汽车产业是一个国家整个工业的象征和标志，是发达国家国民经济的支柱产业。汽车产业是一个带动性很强的产业，她几乎涉及到所有工业行业，如机械制造、能源、电子（器）、化工、冶金、交通运输等。她的发展，不仅占据着国民经济的重要地位，同时也改变和影响着人们的生活。正因为如此，自从福特发明了汽车以来，世界各国特别是西方发达国家都非常重视汽车工业的发展。整个西方发达国家如美国、日本等被形容为汽车轮子上的国家。汽车改变了社会，也改变了人们的生活。
数据分析就是分析和处理数据的理论与方法，从中获得有用的信息。从这个意义上讲，数据分析存在固定的解决方法，分析的目的和分析的方法不同，从同一数据中发掘出各种有用信息。数据分析作为信息的主要载体在当今信息化社会中扮演着重要角色。基于统计方法对各型汽车数据进行分析，将有利于人们对汽车行业发展的认识，且便于消费者今后对汽车进行挑选，选择合适的汽车类型。
2 基于主成分思想的汽车优劣排序
2.1 主成分分析基本原理
主成分分析[1]的主要目的就是对原变量加以“改造”，在不致损失原变量太多信息的条件下尽可能地降低原变量的维数，即用为数较少的“新变量”代替原变量。在实际问题中，总体 的协方差矩阵 （或相关系数矩阵 ）一般是未知的，具有的资料只是来自于X的一个容量为n的样本观测数据
                                  （2.1）
这时，我们便可用其样本协方差矩阵S或样本相关系数矩阵R分别作为 或 的估计进行主成分分析，且
                              （2.2）
                    （2.3）
其中
 ，
 
关于S的样本主成分，我们有如下结论：
设 为样本协方差矩阵，其特征值为 ，相应的正交单位化特征值向量为 ，这里 。则第k个样本主成分可表示为
                       （2.4）
其中 表示 的观测值。当依次代入观测值 时，便得到第k个样本主成分yk的n个观测值 ，我们称之为第k个样本主成分的得分。这时容易得到第k个样本主成分的贡献率为 ，前m个样本主成分的累计贡献率为 。
从样本相关系数矩阵R出发进行主成分分析，即相当于从标准化样本
                        （2.5）
的样本协方差矩阵出发进行主成分分析，只要求出R的特征值及相应的正交单位化特征向量，则类似于上述的结果均成立，这时标准化样本的样本总方差为p。
实际应用中，将样本观测值 逐个代入各主成分中，可得到各样本主成分的相应观测值 ，即各主成分的得分。为便于理解和对照，本文用表1的形式给出原始数据及其主成分得分。
表1 原始数据及其主成分得分
序 号 原变量
选取前m（m<p）个样本主成分，使其累计贡献率达到一定的要求（如80%到90%），以前m个主成分的得分代替原始数据，这样便可达到降低原始数据维数的目的，同时也不致损失原始数据的太多信息。
2.2 汽车排序结果分析
首先对数据进行标准化处理，然后对标准化处理之后的数据利用MATLAB[2]进行分析，得到其相关系数矩阵R（如表2所示）。
表2 相关系数矩阵R
 MPG Weight Drive_Ratio Horsepower Displacement Cylinders
MPG 1.0000 -0.3380 -0.3211 0.8623 -0.2806 -0.4120
Weight -0.3380 1.0000 -0.4605 -0.3770 0.9603 -0.4058
Drive_Ratio -0.3211 -0.4605 1.0000 -0.2600 -0.4608 0.9161
Horsepower 0.8623 -0.3770 -0.2600 1.0000 -0.3226 -0.3671
Displacement -0.2806 0.9603 -0.4608 -0.3226 1.0000 -0.3996
Cylinders -0.4120 -0.4058 0.9161 -0.3671 -0.3996 1.0000
表3 主成分及贡献率
主成分 特征值 方差贡献率(%) 累计贡献率(%)
1 2.8041 46.7342 46.7342
2 2.4996 41.6593 88.3935
3 0.4468 7.4465 95.8401
4 0.1367 2.2783 98.1184
5 0.0778 1.2966 99.4150
6 0.0351 0.5850 100.0000
因当前m个主成分的累计贡献率达到一定的比例（如80%以上）时，就可以用前m个主成分Y1，Y2，．．．，Ym代替原始变量X1，X2，．．．，X20，不但可使原始变量的维数降低，也不至于损失原始变量中的太多信息。由表5可知，当m=2时，此时的累计贡献率只有88.3935%，即选用前两个主成分。在原始数据的相关系数矩阵R基础上，计算得到主成分（因子）载荷矩阵，如表4所示。
表4主成分（因子）载荷矩阵
变量名 主成分
 1 2
MPG -0.0320 -0.9317
Weight -0.8475 0.4541
Drive_Ratio 0.8450 0.3934
Horsepower 0.0266 -0.9271
Displacement -0.8459 0.4131
Cylinders 0.8090 0.4903
依据表2~表4中的数据可计算可出各型汽车的综合得分，并依据其得分可对各型汽车进行排名，具体情况请见表5。
表5 各型汽车主成分得分、主成分综合得分及排名表
汽车编号 主成分1得分 主成分2得分 综合得分 排名
1 0.1248 0.0539 0.1786 4
2 -0.0782 0.0409 -0.0373 19
3 -0.0780 0.0638 -0.0142 15
4 -0.0018 -0.1254 -0.1272 34
5 -0.0262 -0.2803 -0.3066 38
6 0.0596 0.0277 0.0874 13
7 0.1049 0.0387 0.1435 8
8 -0.0661 0.0353 -0.0308 16
9 -0.0733 0.0637 -0.0096 14
10 -0.0021 -0.0956 -0.0977 31
11 -0.0237 -0.1898 -0.2135 37
12 0.0688 0.0350 0.1039 12
13 0.1157 0.0453 0.1610 6
14 -0.0906 0.0479 -0.0427 21
15 -0.1161 0.0809 -0.0353 17
16 -0.0021 -0.1002 -0.1023 32
17 -0.0205 -0.1758 -0.1963 36
18 0.0768 0.0384 0.1152 11
19 0.1293 0.0457 0.1751 5
20 -0.1137 0.0600 -0.0536 25
21 -0.1476 0.0912 -0.0564 26
22 -0.0041 -0.0851 -0.0892 29
23 -0.0243 -0.1644 -0.1887 35
24 0.0904 0.0472 0.1376 9
25 0.1704 0.0641 0.2345 1
26 -0.1071 0.0591 -0.0480 24
27 -0.1274 0.0802 -0.0472 22
28 -0.0020 -0.0635 -0.0655 27
29 -0.0216 -0.0741 -0.0956 30
30 0.0971 0.0530 0.1501 7
31 0.1557 0.0602 0.2160 2
32 -0.1045 0.0565 -0.0480 23
33 -0.1313 0.0892 -0.0421 20
34 -0.0026 -0.0736 -0.0762 28
35 -0.0241 -0.0981 -0.1222 33
36 0.0785 0.0411 0.1196 10
37 0.1531 0.0544 0.2074 3
38 -0.0810 0.0448 -0.0362 18
2.3 小结分析
由于统计数据中具体指标间的数量大小存在明显差异，会使得各变量取值的分散程度差异较大，这时变量的总方差则主要受方差较大的变量控制，若由原始统计数据的协方差矩阵出发进行主成分分析，则优先照顾了方差较大的变量，这不但会给主成分变量的解释带来困难，有时还会造成不合理的结果。为了消除原变量彼此方差差异过大的影响，本文是在原始统计数据的相关系数矩阵基础上进行的主成分分析。从主成分分析结果可看出，排在第一的是编号25的汽车（U.S. AMC Spirit），而倒数第一的是编号为5的汽车（U.S. Chevette）。进行汽车排名的意义位于方便今后客户购车的需要，且为汽车各大生产产商提供了参考建议。
3 基于谱系聚类的汽车样本分类
谱系聚类法也称为系统聚类法，是应用较为广泛的一种聚类方法。谱系聚类法是根据植物分类学的思想对研究对象进行分类的方法。在植物分类学中，分类的单位是门、纲、科、属、种，其中种是分类的基本单位。分类单位越小，它包含的植物就越少，至五件的共同特征就越多。利用这种分类的思想，谱系聚类法首先视各样本自成一类，然后把最相近（距离最小）的样品聚为小类，再将已聚合的小类按其相近性（用类间距离度量）再聚合，随着相近性的减弱，最后将一切子类聚合为一个大类，从而得到一个按相近性大小聚结起来的谱系图，再进一步根据实际情况确定合适的分类个数[1][3]。
3.1 类间距离及其递推公式
为简单起见，以i,j分别表示样品 ，以 简记 与 的距离 ，设 , 分别表示两个类，它们分别含有 个样品。若类 中的样品为 ，则其均值
                                                   （3.1）
称为类 的重心。
类与类之间的距离有多种定义方法，如最短距离、最长距离、类平均距离与重心距离。以下记类 与 之间的距离记为 。
（1）最短距离
                                                  （3.2）
即用两类中样品间距离最短者作为两类间的距离。
（2）最长距离
                                                  （3.3）
即用两类中样品间距离最长者作为两类间的距离。
（3）类平均距离
                 （3.4）
即用两类中所有两两样品之间的平方距离作为两类间的平方距离。
（4）重心距离：
                                                   （3.5）
其中 分别是 , 的重心，即用两类的重心之间的距离作为两类间的距离。
按照谱系聚类的思想，先将样品聚合成小类，再逐步聚为大类。设类 由类 , 合并得到，则 包含 个样品。我们的问题是由 , 与其它类 的距离计算 与 的距离，即建立类间距离的递推公式，实现谱系聚类就方便了。下面是4种类型的类间距离的递推公式。
（1）最短距离
                                              （3.6）
事实上
 
（2）最长距离
                                              （3.7）
事实上
 
（3）类平均距离
                                             （3.8）
事实上
 
对于类平均距离的下列定义方式
 
同理可得地推公式
 
（4）重心距离
                                  （3.9）
事实上，由 , 的合并集 的重心是
                                             （3.10）
而
   （3.11）
由 ，有
     （3.12）
3.2 谱系聚类法的步骤
谱系聚类法的步骤如下：
（1）n个样本开始作为n个类，计算两两之间的距离，构成一个对称距离矩阵
                                        （3.13）
此时， 。
（2）选择 中主对角线以下（或以上）的最小元素，设这个元素是 ，这时 ，首先将 ， 合并成一个新类 。在 中消去 ， 所对应行与列，并加入由新类 与剩下的其他未聚合的类间的距离所组成一行和一列，得到一个更新的距离矩阵 ，它是n-1阶矩阵。
（3）从 出发重复步骤（2）的做法得 ，再由 出发重复上述步骤，直到n个样品聚为一个大类为止。
（4）在合并过程中要记下合并样品的编号及两类合并时的距离（称为距离水平），并绘制聚类谱系图。
3.3 汽车分类结果
在表5中38型汽车样品进行聚类，根据前面介绍的算法，利用MATLAB[2]软件编写相关程序，进行汽车样本的聚类。
（1）类间最短距离下的汽车分类情况
 
图1  38个汽车样本的最短距离法谱系图
（2）类间最长距离下的汽车分类情况
 
图2  38个汽车样本的最长距离法谱系图
（3）类平均距离下的汽车分类情况
 
图3  38个汽车样本的类平均距离法谱系图
（4）重心距离下的汽车分类情况
 
图4  38个汽车样本的重心距离法谱系图
3.4 小结分析
从图1~图4可以看出，在不同定义距离下的谱系图有所差异，即将各型汽车样品划分为不同类别的情况各不相同。但当把汽车样本划分为两大类时，划分情况是一致的，即编号为1、2、3、4、16、17、18、19与20的汽车样本为一类，剩下的为另一类。
而且当把汽车样本分为较小的类别时，发现编号为13、14与15的汽车样本间的定义距离较小。通过统计数据可观察得到，不管是13、14、15还是1、2、3、4、16、17、18、19与20，美国产汽车之间的距离相对较近，且划分为同一类的概率较大。说明了各国之间生产的汽车有特色，使其在汽车分类过程中，同一国家汽车分为同一类的概率较异国汽车分为同一类的概率大，且从另外一个角度说明，同一国家生产的汽车综合性能更为接近，这从表5（各型汽车主成分得分、主成分综合得分及排名表）即可看出。
参考文献
[1] 梅长林，范金城．数据分析方法[M]．北京：高等教育出版社，2007．
[2] 张志涌．精通MATLAB6.5[M]．北京：北京航空航天大学出版社，2003．
[3] 赵静．数学建模与数学实验[M]．北京：高等教育出版社，2000